「２次方程式」の基礎・基本

2次関数のグラフと2次方程式の解の関係を調べる。そのために、2次方程式を解く。①因数分解、②解の公式を用いて解く方法を指導する。

1　授業のアウトライン

①　教科書の例示問題1・練習問題1（５分）
②　例示問題2・練習問題2（20分）
③　教科書傍用問題集（５分）

因数分解が苦手そうな生徒には、教科書29, 30ページの問題をもう一度解かせる。

指示 . 1

教科書77ページ。例２を読みます。（2次方程式 $x^2-4x+3=0$ を解いてみよう）

教科書を見させながら発問をする。例２は解き方を確認する程度。特にかかせることはない。

説明 . 1

左辺を因数分解しなさい。（ $(x-1)(x-3)=0$ です）
$x-1$ または $x-3$ が $0$ になればよいです。
すなわち、 $x-1=0$ または $x-3=0$
移項して、 $x=1, 3$

発問 . 1

「,」はどのような意味ですか。教科書から探しなさい。（「または」です）

問４は例２と同じように解かせる。
(1) $x^2-7x+12=0$
$(x-3)(x-4)=0$
$x=3, 4$

(2) $x^2+x-6=0$
$(x+3)(x-2)=0$
$x=-3, 2$

(3) $x^2-2x-8=0$
$(x+2)(x-4)=0$
$x=-2, 4$

(4) $x^2-10x+25=0$
$(x-5)^2=0$
$x=5$ （重解）

２次方程式の解の公式は中学校で習っているが、忘れている生徒がいることも想定できる。公式をノートにかかせることが必要である。

発問 . 2

77ページ。解の公式を読みます。
念のため、ノートに２次方程式の解の公式をかきます。

または、授業の導入でフラッシュカードを使ってもよい。

指示 . 2

例３を読みます。（2次方程式 $3x^2-5x+1=0$ を解いてみましょう）

$a, b, c$ の値をいいなさい。（ $a=3, b=-5, c=1$ です）

解の公式をいいなさい。 $\left(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}です\right)$

発問 . 3

解の公式に代入しなさい。

分母は何ですか。（ $2×3$ です）

√の中の式をいいなさい。（ $(-5)^2-4×3×1$ です）

√の中を計算しなさい。（ $25-12=13$ です）

答えをいいなさい。 $\left(x=\frac{5±\sqrt{13}}{6}です\right)$

この流れで問５も解く。
(1) $x^2+5x+3=0$
$a=1, b=5, c=3$
$x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×3}}{2×1}$
$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}$

(2) $2x^2+x-2=0$
$a=2, b=1, c=-2$
$x=\frac{-1±\sqrt{1^2-4×2×(-2)}}{2×2}$
$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$

(3) $3x^2-3x-2=0$
$a=3, b=-3, c=-2$
$x=\frac{-(-3)±\sqrt{(-3)^2-4×3×(-2)}}{2×3}$
$x=\frac{3±\sqrt{33}}{6}$

(4) $x^2-6x+4=0$
$a=1, b=-6, c=4$
$x=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^2-4×1×4}}{2×1}$
$x=\frac{6±\sqrt{20}}{2}$
$x=\frac{6±2\sqrt{5}}{2}$
$x=3±\sqrt{5}$