特性方程式を用いた漸化式
特性方程式を用いた漸化式は、生徒は教科書を一読しても分からないかもしれない。原理を簡単におさえつつ、解き方も原理に基づいた指導法を紹介する。
a_{n+1}=pa_n+q の漸化式の解説を紹介する。「等比数列にする理由」と「その理由に沿った解法」を中心である。
漸化式の原理は『「漸化式」の基礎・基本』、特性方程式の解説は『「漸化式」の基礎・基本』に載せた。
教科書には文字式の漸化式が載っているが、生徒には具体的な数値がある式の方が理解がしやすい。
（１）導入
漸化式a_{n+1}=3a_n-4は等差数列でも、等比数列でもありません。
（-4を手で隠して）-4がなければ何数列ですか。（等比数列です）
（3を手で隠して）3がなければ何数列ですか。（等差数列です）
両方入っているので、型どおりの解き方ではありません。
しかし、仮に-4がなくなったら解くことができます。
（２）原理をかかせる
（１）の数列が、教科書32ページにかかれている。
冒頭から８行目まで読ませる。
さらに詳しく知りたい方は以下のコンテンツをご覧ください。
.jpg)
数列を写します。（１段目、3, 5, 11, \cdotsを写させる）
2を引くと等比数列になります。（２段目、-2↓を写させる）
2を引くことで、初項1、公比3の等比数列になります。（３段目、1, 3, 9, \cdotsを写させる）
（３）どうしたら「2を引く」ことに気付けるか
手順は３つあります。①～③の手順で見つけることができます。
①a_n-α=b_n, a_{n+1}-α=b_{n+1}とおく
最終型はb_{n+1}=3b_nになります。そのためにa_n-α=b_n, a_{n+1}-α=b_{n+1}とおきます。
②代入して、整理する
必要があれば、b_n+α=a_n, b_{n+1}+α=a_{n+1}を示す。
③αを求める
α＝3α-4であれば、αと3α-4が消えます。
１回の授業で習得できないかもしれないので、その際は別の説明を用意しておくとよい。
（４）演習の授業
（問題）
漸化式 a_{n+1}=4a_n-3 が b_{n+1}=4b_n で表されることを確かめよう。
①初めに何をしますか。（a_n-α=b_n, a_{n+1}-α=b_{n+1}とおきます）
②次に何をしますか。（代入して、整理します）
③最後に何をしますか。（αを求めます）
実際にα=1を代入して、b_{n+1}=4b_nになるかを確かめるとよい。