数列・難問（その５）（DL可）

本稿は「漸化式」の問題を扱う。授業中の少し空いた時間を利用して生徒の関心を引きつけ、積極的な参加を促す方法として、数学の興味深い問題を取り入れる。実際に出題する際は、教師がクラスの半数の生徒が解けそうだが解けないと判断した時点で提示すると効果的である。

ID	tJhNIncv1PlKMlZxepoF
作成日	2024-1-8
制作者	村瀬歩
学年	高校生
カテゴリー	数学数学Ｂ/数列難問　その他/難問
タグ	難問漸化式
推薦者	TOSS東京MY SPACE
所属サークル名	TOSS東京MY SPACE
TOSS授業技量検定段級位	8級
参考文献	張ヶ谷守晃『受験数学の裏ワザ50』エール出版社，2018年， p145（改題）
添付1	数列（その５）

問題

$n$ が自然数のとき、次の数列 ${a_n}$ について考える。
$a_1= 1,\quad na_(n+1)-4(n+1) a_n= 3n(n+1)$
$(1)$ $b_n=\displaystyle \frac{a_n}{n}$ とおくとき、数列 ${b_n}$ の一般項を求めよ。
$(2)$ 数列 ${a_n}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

解答例

$(1)$ $na_{n+1} - 4(n+1)a_n = 3n(n+1)$
両辺を $n(n+1)$ で割ると、 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1} = 4\frac{a_n}{n} + 3$ となります。
$b_n =\displaystyle \frac{a_n}{n}$ とおくと、 $b_{n+1} = 4b_n + 3$ が得られます。
新しい数列 $c_n = b_n - \alpha$ を考え、 $c_{n+1} = 4c_n$ となるように $\alpha$ を決定します。
特性方程式は $\alpha = 4\alpha + 3$ であり、これを解くと $\alpha = -1$ 。
$c_n$ の初項 $c_1 = b_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ と公比 4 の等比数列として $c_n = 4^{n-1}$ が得られます。
$b_n = c_n + 1$ から、 $b_n = 4^{n-1} + 1$