「高次方程式」の基礎・基本

高次方程式は『因数分解の公式の利用』と『因数定理の利用』からなる。どちらもパターン問題であるが、因数定理を忘れていることが想定できる。記号は使わず言葉でよいのでもう一度定理を説明するとよい。

1　授業のアウトライン

①　教科書の例示問題1・練習問題1（15分）
②　教科書傍用問題集（５分）
③　例示問題2・練習問題2（20分）
④　教科書傍用問題集（５分）

初めは『因数分解の公式の利用』である。新出事項はない。パターン問題なので、教科書の問題や教科書傍用問題集で演習を積ませる。

(2)は4次式は解が４つであることを確認する。例題４でも確認する。

指示 . 1

教科書39ページ。例題４(1)を読みます。（ $x^3-4x^2+x+6=0$ を解きなさい）

発問 . 1

すぐ因数分解できそうにありません。初めにどんな定理を使いますか。39ページから探しなさい。（因数定理です）

発問 . 2

因数定理とは何ですか。36ページから探しなさい。（整式にある数を代入して余りが０であれば、因数が決定できることです）

この単元では、代入する数の基本を「 $1$ 」→「 $-1$ 」→「 $2$ 」→「 $-2$ 」→ $\cdots$ としている。 $P(1), P(-1) \cdots$ と求めさせていく。

発問 . 3

因数は何になりますか。( $x+1$ です）

次に何をしますか。（ $x^3-4x^2+x+6$ を $x+1$ でわります）

答えまで求めさせる。

発問 . 4

この問題は何次式でしたか。（３次式です）解はいくつありましたか。（３つです）

説明 . 1

方程式を複素数の範囲まで解くと、次数と解の数は一致します。

ここで生徒が因数定理を忘れてしまっているのであれば、教科書39ページの問９(1)(2)を解かせ、これまでの解法を整理させる。

(2)は解の公式を用いることが出てくる。それまでに因数定理を使いこなせるようにさせたい。

指示 . 2

例題４(2)を読みます。（ $x^3-2x^2+3x-2=0$ を解きなさい）

発問 . 5

初めにどんな定理を使いますか。（因数定理です）

何を代入しますか。（ $1$ です）※これは教科書に載っている。

発問 . 6

因数は何ですか。（ $x-1$ です）

次に何をしますか。（ $x^3-2x^2+3x-2$ を $x-1$ でわります）

発問 . 7

$x^3-2x^2+3x-2=(x-1)(x^2-x+2)$ となりました。次は何をしますか。（ $x^2-x+2$ を解の公式で解きます）

答えまで求めさせる。

発問 . 8

この問題は何次式でしたか。（３次式です）解はいくつありましたか。（３つです）