「因数定理」の基礎・基本

『因数定理』は計算はそれほど難しくないが、意味がとらえにくい。教科書を読ませ、発問で意味を明確にしていく。この項で『高次方程式』と『因数定理の利用』につながるように、記述の型身に付けさせる。

1　授業のアウトライン

①　教科書の例示問題1・練習問題1（15分）
②　教科書傍用問題集（５分）
③　例示問題2・練習問題2（25分）
④　教科書傍用問題集（５分）

生徒によっては、剰余の定理で $P(a)=0$ であることと、 $x-a$ は $P(x)$ の因数であることが結びつかない。発問で結びつける。

指示 . 1

教科書36ページ。冒頭から読みます。（因数定理のまとめまで読ませる）

発問 . 1

① $P(a)=0$ と等しいことは何ですか。できるだけたくさん隣にいいなさい。
（② $x-a$ でわった余りが $0$ です）（③ $x-a$ でわり切れます）（④ $x-a$ は $P(x)$ の因数です）

①～④の事柄が同値であることが、わからないケースがある。さらに発問で結びつける。

指示 . 2

$P(x)$ を $x-a$ でわった余りが $0$ であることと等しいことは何ですか。３ついいなさい。

指示 . 3

$P(x)$ を $x-a$ でわりきれることと等しいことは何ですか。３ついいなさい。

指示 . 4

$P(x)$ の因数が $x-a$ であることと等しいことは何ですか。３ついいなさい。

発問 . 2

因数定理とは何ですか。（ $P(a)=0$ と $x-a$ は $P(x)$ の因数であることと等しいことです）

説明 . 1

代入して $0$ になれば、因数が１つ決まります。

指示 . 5

例４(1)を読みます。

後は代入して、 $0$ になるかどうかを確かさせる。難しいそうにする生徒がいたら、以下のように剰余の定理を示すのがよい。

(1) $P(2)=(x-2)Q(x)+18$ 、(2) $P(-1)=(x+1)Q'(x)+0$ （わり切れる）

問６も同様に解かせる。代入する数の候補は、下のノートのように見つけさせる。

｢約数｣をという言葉は伝わらないことがある。その場合はかけ算の形でかかせる。

代入する数の基本は｢ $1$ ｣→｢ $-1$ ｣→｢ $2$ ｣→｢ $-2$ ｣である（問６は異なるが、教科書はこれで解けるようになっていることが多い）。まずはこの４つの数を代入して、因数を見つけさせる。

このかき方は、後の『因数定理を利用した因数分解』『因数定理の利用』にも使うことができる。かく耐性をつけさせていきたい。

＜解き方＞
① $P(x)＝$ とおく
②定数項から因数を見つける
③わり算を行い、商を求める

指示 . 6

教科書37ページ。例題２を読みます。（ $P(-1)=0$ になるところまでを読ませる）

発問 . 3

初めに何をしますか。（ $P(x)＝$ とおきます）

次に何をしますか。（定数項から、因数を見つけます）

次に何をしますか。（割り算を行い、商を見つけます）

１問を解くが長く感じる生徒がいるかもしれない。このページに入るまでに、前ページの例４と問５を簡単に終わらせるのではなく、教科書傍用問題集で練習させてから、例題２に入るのが望ましい。

下の画像は問７である。